微积分学示例

$\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

根据加法法则， ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 16

将 $\frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 17

化简项。

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解题步骤 17.1

合并。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17.3

约去 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 17.3.1

约去公因数。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17.3.2

重写表达式。

$\frac{x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 19

将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

化简分子。

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解题步骤 20.1.1

运用分配律。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.2

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 20.1.2.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x - 2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x - 2 {(x + 1)}^{1} - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.3

化简 $- 2 {(x + 1)}^{1}$ 。

$\frac{x - 2 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x - 2 (x + 1) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.5

化简每一项。

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解题步骤 20.1.5.1

运用分配律。

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 1 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 2 x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.6

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- x - 2 + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.1.7

重新排序项。

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.2

重新排序项。

$\frac{- x + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.4

从 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.5

从 $- (x) - (- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.6

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.7

从 $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.8

将 $- (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)$ 。

$\frac{- 1 (x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 2}{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

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