微积分学示例

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $4 - \frac{x^{2}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ 。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

解题步骤 2.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ 相加。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

解题步骤 2.6

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.7

化简项。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.3

组合 $\frac{- 3}{3}$ 和 ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 。

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.4

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

从 $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7.4.2.4

用 $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 除以 $1$ 。

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

解题步骤 2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

解题步骤 2.9.2

重新排序 $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ 的因式。

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$

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