微积分学示例

\int_{1}^{\infty} e^{x} d x

$\int_{1}^{\infty} e^{x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为

$t$ 趋于

$\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{x} d x$

解题步骤 2

$e^{x}$ 对

$x$ 的积分为

$e^{x}$ 。

$lim_{t \to \infty} e^{x}]_{1}^{t}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算

$e^{x}$ 在

$t$ 处和在

$1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (e^{t}) - e^{1}$

解题步骤 3.2

化简。

$lim_{t \to \infty} e^{t} - e$

$lim_{t \to \infty} e^{t} - e$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当

$t$ 趋于

$\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} e^{t} - lim_{t \to \infty} e$

解题步骤 4.2

因为指数

$t$ 趋于

$\infty$ ，所以数量

$e^{t}$ 趋于

$\infty$ 。

$\infty - lim_{t \to \infty} e$

解题步骤 4.3

计算

$e$ 的极限值，当

$t$ 趋近于

$\infty$ 时此极限值为常数。

$\infty - e$

解题步骤 4.4

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\infty$

$\infty$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$