微积分学示例

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (\frac{x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.6

组合 $\cos (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

解题步骤 2.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

合并分数。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $\cos (\frac{x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 5.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.6.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.2.1

化简 $2 (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 5.6.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.6.2.2.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.6.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.6.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.6.2.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

解题步骤 5.6.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 4 π - π$

解题步骤 5.6.2.2.1.6

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = 3 π$

解题步骤 5.7

方程 $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = π, 3 π$

解题步骤 6

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 9.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 3 + 4$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$f (π) = 7$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $7$ 。

$y = 7$

解题步骤 10

计算在 $x = 3 π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

解题步骤 11.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 11.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 3}{4}$

解题步骤 11.2.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3}{4}$

解题步骤 11.3

乘以 $- - \frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{4})$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3 π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3 π$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = 3 π$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $3 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

解题步骤 13.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

解题步骤 13.2.1.3

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 13.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (3 π) = - 3 + 4$

解题步骤 13.2.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$f (3 π) = 1$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ 的局部极值。

$(π, 7)$ 是一个局部最大值

$(3 π, 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

微积分学 示例

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