微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C$

解题步骤 6

将 $- u^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C$ 。

$- \frac{1}{u} + C$

解题步骤 7

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{x + 1} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x + 1} + C$

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