微积分学示例

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

解题步骤 1

使 $u = 4 - y^{3}$ 。然后使 $d u = - 3 y^{2} d y$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 - y^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 - y^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 - y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - (3 y^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 3 y^{2}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$- 3 y^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $u^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $3$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 7

使用 $4 - y^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$

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