微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}} + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

解题步骤 4

将 $x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.1.2

因为项 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.3.1

运用分配律。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.3.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.3.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.6

因为项 $3 a^{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.7.2.1

用 $5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.7.2.2.1

乘以 $3 a^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.1.2.7.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 a^{2} + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $a^{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.3

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.7.2.5.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.5.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.7.2.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.4

将 $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.5

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.6

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.9

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.10

根据加法法则， $5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.13

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.14

因为 $3 (a^{2} + 1)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (a^{2} + 1)$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \cdot 10 x - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.16

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.16.1

移动 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.16.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.16.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.16.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.16.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{3} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.17

将 $10$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 \cdot x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.19

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.20

将 $\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ 乘以 $\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.21

约去公因数。

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解题步骤 5.3.21.1

从 $(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.21.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.21.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22

化简。

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解题步骤 5.3.22.1

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.2

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} + (- 2 \cdot 5 x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.3

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.4

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.5

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6

化简分子。

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解题步骤 5.3.22.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.22.6.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.22.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.22.6.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1 + 2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.4

乘以 $- 2 (3 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.3.22.6.1.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.2

从 $10 x^{3}$ 中减去 $10 x^{3}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.6.3

从 $0$ 中减去 $6 a^{2} x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.7

合并项。

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解题步骤 5.3.22.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.22.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2 + 2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.7.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.7.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.8

重新排序项。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.9

从 $- 6 a^{2} x - 6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 5.3.22.9.1

从 $- 6 a^{2} x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.9.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} + 6 x (- 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.9.3

从 $6 x (- a^{2}) + 6 x (- 1)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.10

从 $5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.22.10.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.10.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.10.3

从 $3 a^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.10.4

从 $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.10.5

从 $x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} (3 a^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.11

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.22.11.1

从 $6 x (- a^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.11.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.22.11.2.1

从 $x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.11.2.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.11.2.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- a^{2} - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.12

从 $- a^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.13

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1 (1))}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.14

从 $- (a^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 \cdot - 1 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.22.15

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.23

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

解题步骤 5.3.24

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- x^{- 2}}}$

解题步骤 5.3.25

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} \cdot - 1 x^{2}}$

解题步骤 5.5

合并因数。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

解题步骤 5.5.3

组合 $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x^{2}}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

解题步骤 5.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $6 (a^{2} + 1) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

解题步骤 5.6.2.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

解题步骤 5.7

将 $\frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}$ 中的因式重新排序。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 x (a^{2} + 1)}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

解题步骤 6

因为项 $6 (a^{2} + 1)$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

解题步骤 7

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.1.3

约去公因数。

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解题步骤 8.1.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.1.3.2

约去公因数。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.1.3.3

重写表达式。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 10.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 10.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

解题步骤 12

因为项 $3 a^{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 13

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

化简答案。

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解题步骤 14.1.1

运用分配律。

$e^{(6 a^{2} + 6 \cdot 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

解题步骤 14.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

解题步骤 14.1.3

化简分母。

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解题步骤 14.1.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

解题步骤 14.1.3.2

乘以 $3 a^{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 14.1.3.2.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0 a^{2}}}$

解题步骤 14.1.3.2.2

将 $0$ 乘以 $a^{2}$ 。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0}}$

解题步骤 14.1.3.3

将 $5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0}}$

解题步骤 14.1.3.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5}}$

解题步骤 14.1.4

用 $0$ 除以 $5$ 。

$e^{(6 a^{2} + 6) \cdot 0}$

解题步骤 14.1.5

将 $6 a^{2} + 6$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 14.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

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