微积分学示例

$2 x^{2} (3 x - 4)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2} (3 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x - 4)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x - 4)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x - 4$ 。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4] + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x^{2} (3 + 0) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 (x^{2} \cdot 3 + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 (3 \cdot x^{2} + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (3 x^{2} + (3 x - 4) (2 x))$

解题步骤 3.8

将 $2$ 移到 $3 x - 4$ 的左侧。

$2 (3 x^{2} + 2 \cdot (3 x - 4) x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (3 x^{2} + (2 (3 x) + 2 \cdot - 4) x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 (3 x^{2} + 2 (3 x) x + 2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$2 (3 x^{2}) + 2 (2 (3 x) x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + 2 (2 (3 x) x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + 2 (6 x \cdot x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{2} + 2 (6 (x^{1} x)) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{2} + 2 (6 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{2} + 2 (6 x^{1 + 1}) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{2} + 2 (6 x^{2}) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.7

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (2 \cdot - 4 x)$

解题步骤 4.4.8

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (- 8 x)$

解题步骤 4.4.9

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + 12 x^{2} - 16 x$

解题步骤 4.4.10

将 $6 x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$18 x^{2} - 16 x$

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