微积分学示例

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x (x^{2} + 6)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 6$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

解题步骤 3.9

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.9.1

将 $x^{2} + 6$ 乘以 $1$ 。

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

解题步骤 3.9.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$5 (3 x^{2} + 6)$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

解题步骤 3.10.2

合并项。

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解题步骤 3.10.2.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

解题步骤 3.10.2.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$15 x^{2} + 30$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 15 x^{2} + 30$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$

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