微积分学示例

$y' = y$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} = y$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} y$

解题步骤 2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} y$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 2.3

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = 1 d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

解题步骤 3.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = x + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

解题步骤 4.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x + C} = | y |$

解题步骤 4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{x + C}$ 。

$| y | = e^{x + C}$

解题步骤 4.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{x + C}$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

将 $e^{x + C}$ 重写为 $e^{x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{x} e^{C}$

解题步骤 5.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{x}$

解题步骤 5.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{x}$

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