微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

约去 $9$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $9 \tan (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

解题步骤 1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

解题步骤 2.1.2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 2.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

解题步骤 2.4

移动 $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

解题步骤 3.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

解题步骤 3.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \sec^{2} (0)$

解题步骤 5.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 3 \cdot 1^{2}$

解题步骤 5.3

一的任意次幂都为一。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

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