微积分学示例

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 11.2

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.3

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 13.3

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.2

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.4

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.5

组合 $3$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.6

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.7

约去 $21$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.7.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.7.2.4

用 $7$ 除以 $1$ 。

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.9.2.2

约去公因数。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.9.2.3

重写表达式。

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.10

一的任意次幂都为一。

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.11

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.13

在公分母上合并分子。

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.14

化简分子。

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解题步骤 13.4.14.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.14.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.15

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.16

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.17

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.17.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.17.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.17.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.17.2.2

约去公因数。

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.17.2.3

重写表达式。

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.17.2.4

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.18

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 13.4.20

一的任意次幂都为一。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 13.4.21

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 13.4.22

在公分母上合并分子。

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

解题步骤 13.4.23

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.4.24

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{- 2}{2}$

解题步骤 13.4.25

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.25.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 13.4.25.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.25.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 13.4.25.2.2

约去公因数。

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.4.25.2.3

重写表达式。

$1 + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 13.4.25.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - 1$

解题步骤 13.4.26

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 14

微积分学 示例

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