微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 1.2

合并项。

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解题步骤 1.2.1

要将 $5 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 1.2.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 2.2

合并因数。

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解题步骤 2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

解题步骤 3.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

解题步骤 3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 $5 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 5.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 5.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 8.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

解题步骤 8.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

约去 $5 \cdot 0 + 0$ 和 $2 + 5 \cdot 0$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

重新排序项。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.1.2

从 $5 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.1.3

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.1.4

从 $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.1.5

约去公因数。

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解题步骤 10.1.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.1.5.2

从 $0 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

解题步骤 10.1.5.3

从 $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

解题步骤 10.1.5.4

约去公因数。

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

解题步骤 10.1.5.5

重写表达式。

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

解题步骤 10.3

化简分母。

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解题步骤 10.3.1

将 $0$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 10.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 10.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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