微积分学示例

$\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{5}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

用 $x^{5}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 0 + x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + 0 - x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 4.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

解题步骤 4.12

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x^{3} - x + \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{3} d x + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 9

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 10.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

解题步骤 14

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微积分学 示例

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