微积分学示例

$x^{2} - y + z^{2} = w$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d w} (x^{2} - y + z^{2}) = \frac{d}{d w} (w)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - y + z^{2}$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [x^{2}] + \frac{d}{d w} [- y] + \frac{d}{d w} [z^{2}]$ 。

$\frac{d}{d w} [x^{2}] + \frac{d}{d w} [- y] + \frac{d}{d w} [z^{2}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $x^{2}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d w} [- y] + \frac{d}{d w} [z^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d w} [- y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- y$ 对 $w$ 的导数是 $- \frac{d}{d w} [y]$ 。

$0 - \frac{d}{d w} [y] + \frac{d}{d w} [z^{2}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d w} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 - y' + \frac{d}{d w} [z^{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $z^{2}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $z^{2}$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$0 - y' + 0$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

从 $0$ 中减去 $y'$ 。

$- y' + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- y'$ 和 $0$ 相加。

$- y'$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y' = 1$

解题步骤 5

将 $- y' = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- y' = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y'}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$y' = - 1$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d w}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d w} = - 1$

微积分学 示例

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