微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

解题步骤 4

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\tan (x) \sec (x)$ ，所以 $\tan (x) \sec (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

解题步骤 6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\sec (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 7.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 7.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

运用分配律。

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.3

乘以 $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.3.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.4

运用分配律。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.5.1

约去公因数。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.5.2

重写表达式。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.6.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.6.2

约去公因数。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.6.3

重写表达式。

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.3.7

将负号移到分数的前面。

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $\frac{6}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $\frac{6}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1.2.6.4.1

约去公因数。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6.4.2

重写表达式。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.2.6.5

计算指数。

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.3

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1.3.1

从 $6 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.1.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.3.2.2

约去公因数。

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.3.2.3

重写表达式。

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.3.2.4

用 $3 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

解题步骤 7.4.2

从 $- 3 \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

小数形式：

$2.07519655 \dots$

微积分学 示例

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