微积分学示例

${(x - 1)}^{2} \sin (x)$

解题步骤 1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) \sin (x)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) \sin (x)]$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) \sin (x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 6.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

解题步骤 7.3.2

将 $- 2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) - 2 \sin (x)$

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