微积分学示例

$\int_{- 2}^{1} (x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{1} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1}$ 和 $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ 和 $6 x]_{- 2}^{1}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1 + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.5

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.6

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.7.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.7.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4}{20} + \frac{5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.9

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\frac{9}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.10

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{20} + 6 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.11

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{9}{20} + 6 \cdot \frac{20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.12

组合 $6$ 和 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{9}{20} + \frac{6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{9 + 6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.14

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.14.1

将 $6$ 乘以 $20$ 。

$\frac{9 + 120}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.14.2

将 $9$ 和 $120$ 相加。

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.15

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} \cdot - 32 + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.16

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 32$ 。

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.18

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} \cdot 16 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.19

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{16}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.20

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.20.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.20.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.20.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.20.2.2

约去公因数。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.20.2.3

重写表达式。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4}{1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.20.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.21

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.22

组合 $4$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.24

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.24.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 20}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.24.2

将 $- 32$ 和 $20$ 相加。

$\frac{129}{20} - (\frac{- 12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.25

将负号移到分数的前面。

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.26

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.27

要将 $- 12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12 \cdot \frac{5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.28

组合 $- 12$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.29

在公分母上合并分子。

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 12 \cdot 5}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.30

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.30.1

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 60}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.30.2

从 $- 12$ 中减去 $60$ 。

$\frac{129}{20} - \frac{- 72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.31

将负号移到分数的前面。

$\frac{129}{20} - - \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.32

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{129}{20} + 1 (\frac{72}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.33

将 $\frac{72}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.34

要将 $\frac{72}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} \cdot \frac{4}{4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.35

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.35.1

将 $\frac{72}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{5 \cdot 4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.35.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.36

在公分母上合并分子。

$\frac{129 + 72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.37

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.37.1

将 $72$ 乘以 $4$ 。

$\frac{129 + 288}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.37.2

将 $129$ 和 $288$ 相加。

$\frac{417}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.38

一的任意次幂都为一。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

解题步骤 9.2.3.39

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3})$

解题步骤 9.2.3.40

将负号移到分数的前面。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3})$

解题步骤 9.2.3.41

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

解题步骤 9.2.3.42

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

解题步骤 9.2.3.43

在公分母上合并分子。

$\frac{417}{20} - 4 \frac{1 + 8}{3}$

解题步骤 9.2.3.44

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{9}{3})$

解题步骤 9.2.3.45

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.45.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.2.3.45.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.45.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

解题步骤 9.2.3.45.2.2

约去公因数。

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.45.2.3

重写表达式。

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{3}{1})$

解题步骤 9.2.3.45.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{417}{20} - 4 \cdot 3$

解题步骤 9.2.3.46

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{417}{20} - 12$

解题步骤 9.2.3.47

要将 $- 12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{417}{20} - 12 \cdot \frac{20}{20}$

解题步骤 9.2.3.48

组合 $- 12$ 和 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{417}{20} + \frac{- 12 \cdot 20}{20}$

解题步骤 9.2.3.49

在公分母上合并分子。

$\frac{417 - 12 \cdot 20}{20}$

解题步骤 9.2.3.50

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.50.1

将 $- 12$ 乘以 $20$ 。

$\frac{417 - 240}{20}$

解题步骤 9.2.3.50.2

从 $417$ 中减去 $240$ 。

$\frac{177}{20}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{177}{20}$

小数形式：

$8.85$

带分数形式：

$8 \frac{17}{20}$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例