微积分学示例

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

解题步骤 3

由于 $2 k$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 k$ 移到积分外。

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $k$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $k$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.2.2.2

约去公因数。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.2.2.3

重写表达式。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.4

将 $\frac{k^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{k^{2}}{2}$ 。

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.6

组合 $k$ 和 $\frac{2 k^{2}}{2}$ 。

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.7

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.10.1

约去公因数。

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.10.2

用 $k^{3}$ 除以 $1$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.3.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

解题步骤 8.2.3.12

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 8.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.3.12.2.2

约去公因数。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.3.12.2.3

重写表达式。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

解题步骤 8.2.3.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

解题步骤 8.2.3.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

解题步骤 8.2.3.14

将 $\frac{k^{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3.15

要将 $k^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3.16

组合 $k^{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3.18

将 $3$ 移到 $k^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3.19

从 $3 k^{3}$ 中减去 $k^{3}$ 。

$\frac{2 k^{3}}{3}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{2}{3} k^{3}$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $k^{3}$ 。

$\frac{2 k^{3}}{3}$

微积分学 示例

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