微积分学示例

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = x + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 + 2$

解题步骤 3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = x + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = t + 2$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

解题步骤 3.6

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\ln (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = \ln (4)$

解题步骤 4.3

将上限代入替换 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

解题步骤 4.4

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

解题步骤 4.5

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

解题步骤 7

计算 $- {u_{2}}^{- 1}$ 在 $\ln (t + 2)$ 处和在 $\ln (4)$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

解题步骤 8.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

解题步骤 8.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ 趋于 $0$ 。

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

解题步骤 8.5

计算极限值。

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解题步骤 8.5.1

计算 $\ln^{- 1} (4)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

解题步骤 8.5.2

化简答案。

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解题步骤 8.5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

解题步骤 8.5.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{\ln (4)}$ 相加。

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

解题步骤 8.5.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\ln (4)}$ 。

$\frac{5}{\ln (4)}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{\ln (4)}$

小数形式：

$3.60673760 \dots$

微积分学 示例

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