微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 - 4 x^{2}$ 。然后使 $d u = - 8 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 - 4 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 - 4 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 - 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 4 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 8 x$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $8 x$ 。

$- 8 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 - 4 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 - 4 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 4 - 4$

解题步骤 1.5.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

解题步骤 2.3

将 $8$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $0$ 处和在 $4$ 处的值。

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.4

计算指数。

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 7.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.8.1

约去公因数。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 7.2.8.2

重写表达式。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

解题步骤 7.2.9

计算指数。

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

解题步骤 7.2.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

解题步骤 7.2.11

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

解题步骤 7.2.12

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{1}{8})$

解题步骤 7.2.13

组合 $4$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{4}{8}$

解题步骤 7.2.14

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.14.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{8}$

解题步骤 7.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.14.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.2.14.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 7.2.14.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

解题步骤 9

微积分学 示例

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