微积分学示例

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y^{3} + 1}$ 重写成 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y^{3} + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y^{3} + 1$ 。

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y^{3} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.2

合并分数。

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解题步骤 3.7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.2.3

组合 $\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.7.3

根据加法法则， $y^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.8.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11

合并分数。

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解题步骤 3.11.1

将 $3 y^{2} y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11.2

组合 $3$ 和 $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.11.3

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.12.1

移动 $y$ 。

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.12.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.12.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.14

将 $3$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.15

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

解题步骤 6.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ 中的每一项乘以 $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ 中的每一项乘以 $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.3

约去 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

重写表达式。

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.5

通过指数相加将 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

移动 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.5.3

在公分母上合并分子。

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.5.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.6

化简 $2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ 。

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.7

运用分配律。

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.1.9

运用分配律。

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2.2

将 $3 y^{3} y'$ 和 $2 y^{3} y'$ 相加。

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.1

从 $5 y^{3} y' + 2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

从 $5 y^{3} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

从 $2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

从 $y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

将 $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $5 y^{3} + 2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $5 y^{3} + 2$ 。

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去 $5 y^{3} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

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