微积分学示例

$e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$e^{x} - e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 2.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$e^{x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $e^{x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 4.1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{x} - e^{- x}$ 。

$e^{x} - e^{- x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{x} - e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2

通过在等式两边同时加上 $- e^{- x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$e^{x} = e^{- x}$

解题步骤 5.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = - x$

解题步骤 5.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.4.1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x + x = 0$

解题步骤 5.4.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x = 0$

解题步骤 5.4.2

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$e^{0} + e^{- (0)}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + e^{0}$

解题步骤 9.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + 1$

解题步骤 9.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 1 + e^{0}$

解题步骤 11.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 1 + 1$

解题步骤 11.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 2$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ 的局部极值。

$(0, 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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