微积分学示例

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to - 4} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.1.3

使用极限幂法则把 ${(x + 1)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.1.4

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.1.6

计算 $27$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 {(- 4 + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 4 + 4}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6

计算 $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.2

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.6.8

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.8

化简。

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解题步骤 1.3.8.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.8.2

合并项。

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解题步骤 1.3.8.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.8.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.8.2.3

将 $6 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

解题步骤 1.3.9

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

解题步骤 1.3.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1}$

解题步骤 1.4

用 $6 x + 6$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - 4} 6 x + 6$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to - 4} 6 x + lim_{x \to - 4} 6$

解题步骤 2.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6$

解题步骤 2.3

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$6 lim_{x \to - 4} x + 6$

解题步骤 3

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \cdot - 4 + 6$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$- 24 + 6$

解题步骤 4.2

将 $- 24$ 和 $6$ 相加。

$- 18$

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