微积分学示例

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{x^{2}}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2 y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $y^{- 2}$ 。

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{3}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{3 y^{2}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{6}{x}$ 和 $y$ 。

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$

微积分学 示例