微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}, x \neq 2 \\ 3, x = 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，求 $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ 的极限。

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解题步骤 1.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.5.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.2.5.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

解题步骤 1.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{2 - 2}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.6

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

解题步骤 1.1.3.7

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 1.1.3.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + 0}$

解题步骤 1.1.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1}$

解题步骤 1.1.4

用 $2 x - 1$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} 2 x - 1$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 1$

解题步骤 1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1$

解题步骤 1.2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4

化简答案。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 - 1$

解题步骤 1.4.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$3$

解题步骤 2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$3$

解题步骤 3

由于当 $x$ 趋于 $2$ 时， $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ 的极限等于 $x = 2$ 处的函数值，因此该函数在 $x = 2$ 处连续。

连续

解题步骤 4

微积分学 示例

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