微积分学示例

$y = \csc^{4} (2 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \csc (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\csc (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

对 $\csc (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

解题步骤 10

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$

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