微积分学示例

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 19$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} + x^{3} + 19$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 1.3.2

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.3.3

将 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + x^{3} + 19$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} (4 x) + 3 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} (4 x) - x^{2} \cdot - 3 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- x^{2} (4 x) - x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} (4 x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $4 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 x = 3$

解题步骤 5.5.2.2

将 $4 x = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $4 x = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{4}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $- x^{2} (4 x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{3}{4}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{3}{4}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(0)}^{2} + 6 (0)$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 12 \cdot 0 + 6 (0)$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 6 (0)$

解题步骤 9.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - 4 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = 32 + 3 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 32 + 3 \cdot 4$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = 32 + 12$

解题步骤 10.2.2.2

将 $32$ 和 $12$ 相加。

$f' (- 2) = 44$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $44$ 。

$44$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \frac{3}{4})$ 内的任一数字（例如 $0.38$ ）代入一阶导数 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0.38$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.38) = - 4 {(0.38)}^{3} + 3 {(0.38)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $0.38$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.38) = - 4 \cdot 0.054872 + 3 {(0.38)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0.054872$ 。

$f' (0.38) = - 0.219488 + 3 {(0.38)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $0.38$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.38) = - 0.219488 + 3 \cdot 0.1444$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $3$ 乘以 $0.1444$ 。

$f' (0.38) = - 0.219488 + 0.4332$

解题步骤 10.3.2.2

将 $- 0.219488$ 和 $0.4332$ 相加。

$f' (0.38) = 0.213712$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $0.213712$ 。

$0.213712$

解题步骤 10.4

将区间 $(\frac{3}{4}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $27$ 。

$f' (3) = - 108 + 3 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.3.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (3) = - 108 + 3 {(3)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (3) = - 108 + 3^{1 + 2}$

解题步骤 10.4.2.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (3) = - 108 + 3^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = - 108 + 27$

解题步骤 10.4.2.2

将 $- 108$ 和 $27$ 相加。

$f' (3) = - 81$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 81$ 。

$- 81$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = \frac{3}{4}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{3}{4}$ 是极大值。

$x = \frac{3}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 11

微积分学 示例

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