微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - 4}}{3 x + 5}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 4}}{3 x + 5}$

解题步骤 1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 2^{2}}}{3 x + 5}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(3 x + 2) (3 x - 2)}}{3 x + 5}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 3.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 3.4

将极限移入根号内。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (3 x + 2) (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

移动 $x$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x^{1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1 + 1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8.2

乘。

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解题步骤 4.1.2.8.2.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8.3

将 $- 6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.8.4

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.2.9

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.3

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x + 2$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.3

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.9

将 $3$ 移到 $3 x + 2$ 的左侧。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot (3 x + 2) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.10

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.15

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.16

将 $3$ 移到 $3 x - 2$ 的左侧。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + 3 \cdot (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17

化简。

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解题步骤 4.3.17.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.2

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3

合并项。

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解题步骤 4.3.17.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.5

将 $9 x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 6 - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.6

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.17.3.7

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4

简化。

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解题步骤 4.4.1

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.1

从 $18 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.1.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 (x)}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 4.4.2.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

解题步骤 5.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

解题步骤 5.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3^{2}}}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 7.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 0}$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3}{3}$

解题步骤 7.4

用 $- 3$ 除以 $3$ 。

$- 1$

微积分学 示例

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