微积分学示例

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

解题步骤 2

将 $\cos (m x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

用 $\cos (m x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\sin (n x)}$ 转换成 $\csc (n x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (m x)$ 且 $g (x) = \csc (n x)$ 。

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = n x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $n x$ 。

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 5.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 5.3

使用 $n x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $n$ 对于 $x$ 是常数，所以 $n x$ 对 $x$ 的导数是 $n \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 6.3

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = m x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $m x$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

解题步骤 7.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

解题步骤 7.3

使用 $m x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $m$ 对于 $x$ 是常数，所以 $m x$ 对 $x$ 的导数是 $m \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

解题步骤 8.3

将 $m$ 乘以 $1$ 。

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

重新排序项。

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

将 $\cot (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.2

乘以 $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

组合 $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 和 $n$ 。

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.2.2

组合 $\cos (m x)$ 和 $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ 。

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.3

将 $\csc (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.4

乘以 $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ 。

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解题步骤 9.2.4.1

将 $\frac{1}{\sin (n x)}$ 乘以 $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ 。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.4.2

对 $\sin (n x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.4.3

对 $\sin (n x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

解题步骤 9.2.5

将 $\csc (n x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

解题步骤 9.2.6

组合 $\frac{1}{\sin (n x)}$ 和 $m$ 。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

解题步骤 9.2.7

组合 $\sin (m x)$ 和 $\frac{m}{\sin (n x)}$ 。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

从 $\sin^{2} (n x)$ 中分解出因数 $\sin (n x)$ 。

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.2

分离分数。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.4

将 $\cos (m x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.5

化简。

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解题步骤 9.3.5.1

用 $\cos (m x)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.5.2

将 $\frac{1}{\sin (n x)}$ 转换成 $\csc (n x)$ 。

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.6

分离分数。

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.7

将 $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 转换成 $\cot (n x)$ 。

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.8

用 $n$ 除以 $1$ 。

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

解题步骤 9.3.9

分离分数。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

解题步骤 9.3.10

将 $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ 重写为乘积形式。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

解题步骤 9.3.11

将 $\sin (m x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

解题步骤 9.3.12

化简。

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解题步骤 9.3.12.1

用 $\sin (m x)$ 除以 $1$ 。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

解题步骤 9.3.12.2

将 $\frac{1}{\sin (n x)}$ 转换成 $\csc (n x)$ 。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

解题步骤 9.3.13

用 $m$ 除以 $1$ 。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

解题步骤 9.4

将 $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ 中的因式重新排序。

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$

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