微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

解题步骤 2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

解题步骤 4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $x^{2} (- \cos (x))$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

解题步骤 7.1.2

计算 $x \sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

解题步骤 7.1.3

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4

化简。

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解题步骤 7.1.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.4

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.5

将 ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ 和 $0$ 相加。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.6

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $\sin (\frac{π}{2})$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.7

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.8

将 $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ 和 $0$ 相加。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

解题步骤 7.1.4.9

要将 $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 7.1.4.10

组合 $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

解题步骤 7.1.4.11

在公分母上合并分子。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.1.4.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

解题步骤 7.1.4.13

组合 $2$ 和 $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

解题步骤 7.1.4.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.14.1

约去公因数。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

解题步骤 7.1.4.14.2

用 $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 除以 $1$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

解题步骤 7.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

解题步骤 7.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

解题步骤 7.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

解题步骤 7.2.6

将 ${(\frac{π}{2})}^{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

解题步骤 7.2.7

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

解题步骤 7.2.8

将 $0$ 和 $π$ 相加。

$π - 2 (- 0 + 1)$

解题步骤 7.2.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π - 2 (0 + 1)$

解题步骤 7.2.10

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$π - 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$π - 2$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$π - 2$

小数形式：

$1.14159265 \dots$

微积分学 示例

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