微积分学示例

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 1$

解题步骤 1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 - 1$

解题步骤 1.5

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.7

将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 7

组合 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8.3

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8.5

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

要将 $\frac{2}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.2

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.3.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.3.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 9.5.3

将 $6$ 和 $10$ 相加。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

约去公因数。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10.3.2

重写表达式。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 10.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 11

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

约去公因数。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 12.3.2

重写表达式。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 12.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

解题步骤 13.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16}{15} - 0$

解题步骤 13.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{15} + 0$

解题步骤 13.4

将 $\frac{16}{15}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16}{15}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16}{15}$

小数形式：

$1.0\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{15}$

微积分学 示例

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