微积分学示例

$2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 7 x$ 。

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7 x] + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$2 (x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 (x^{4} (6 x + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x^{4} (6 x + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{4} (6 x + 7 \cdot 1) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.7

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) (4 x^{3}))$

解题步骤 3.9

将 $4$ 移到 $3 x^{2} + 7 x$ 的左侧。

$2 (x^{4} (6 x + 7) + 4 \cdot (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + (4 (3 x^{2}) + 4 (7 x)) x^{3})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2}) x^{3} + 4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$2 (x^{4} (6 x)) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (x^{1 + 4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$2 (x^{5} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.2

将 $6$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$2 (6 \cdot x^{5}) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.4

将 $7$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$12 x^{5} + 2 (7 \cdot x^{4}) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{2} x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.5.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 (x^{3} x^{2})) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{3 + 2}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.7.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{5}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.8

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (4 (7 x) x^{3})$

解题步骤 4.5.9

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x \cdot x^{3})$

解题步骤 4.5.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.5.10.1

移动 $x^{3}$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x))$

解题步骤 4.5.10.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x^{1}))$

解题步骤 4.5.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{3 + 1})$

解题步骤 4.5.10.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{4})$

解题步骤 4.5.11

将 $28$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 56 x^{4}$

解题步骤 4.5.12

将 $12 x^{5}$ 和 $24 x^{5}$ 相加。

$36 x^{5} + 14 x^{4} + 56 x^{4}$

解题步骤 4.5.13

将 $14 x^{4}$ 和 $56 x^{4}$ 相加。

$36 x^{5} + 70 x^{4}$

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