微积分学示例

$\int (x^{2} - 3 x + 5) e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} - 3 x + 5$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - \int e^{x} (2 x - 3) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 2 x - 3$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

解题步骤 3

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

解题步骤 7

将 $(x^{2} - 3 x + 5) e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ 重写为 $x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ 。

$x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - ((2 x - 3) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

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