微积分学示例

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \sec (6 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \sec (6 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\sec (6 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 4.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

解题步骤 4.1.3.3.2

将 $6$ 移到 $\sec (6 x) \tan (6 x)$ 的左侧。

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 6

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

解题步骤 7

使 $u_{3} = 2 x^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{3} = 2 x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x)$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x$

解题步骤 7.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $u_{2}$ 。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

解题步骤 8.2

组合 $\csc^{2} (u_{3})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 5$ 。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 10.2

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 11

因为 $- \cot (u_{3})$ 的导数为 $\csc^{2} (u_{3})$ ，所以 $\csc^{2} (u_{3})$ 的积分为 $- \cot (u_{3})$ 。

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

解题步骤 12.2.2

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

解题步骤 12.2.3

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $\cot (u_{3})$ 。

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $\sec (6 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

解题步骤 13.2

使用 $2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$

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