微积分学示例

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 2.1

拆分 $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

分解分数 $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

解题步骤 2.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

解题步骤 2.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 2.2

从 $\frac{y}{2 x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $\frac{y}{2 x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 2.3

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

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解题步骤 2.3.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

解题步骤 3

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 4

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 5

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 6

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 7

求解代入的微分方程。

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解题步骤 7.1

分离变量。

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解题步骤 7.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 7.1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

解题步骤 7.1.1.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

解题步骤 7.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

解题步骤 7.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.1.3.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.2

要将 $- V$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3

化简项。

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解题步骤 7.1.1.3.3.3.1

组合 $- V$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.1

从 $V - V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

从 $V^{1}$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

从 $- V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

从 $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $V$ 的左侧。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.3.3.4.1

要将 $- \frac{V}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4.2

将 $\frac{V}{2}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4.4

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.3.3.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4.4.2

将 $V \cdot V$ 重写为 $V^{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.4.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.1.3.3.6

将 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

解题步骤 7.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.3

两边同时乘以 $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ 。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 7.1.4

化简。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

解题步骤 7.1.4.2

约去 $2 V$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.2.1

从 $2 V x$ 中分解出因数 $2 V$ 。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

解题步骤 7.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

解题步骤 7.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

解题步骤 7.1.4.3

约去 $(1 + V) (1 - V)$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

解题步骤 7.1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 7.1.5

重写该方程。

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2

对两边积分。

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解题步骤 7.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2

对左边积分。

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解题步骤 7.2.2.1

由于 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.2

使 $u = (1 + V) (1 - V)$ 。然后使 $d u = - 2 V d V$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = V d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.2.2.2.1

设 $u = (1 + V) (1 - V)$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

对 $(1 + V) (1 - V)$ 求导。

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ 等于 $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ ，其中 $f (V) = 1 + V$ 且 $g (V) = 1 - V$ 。

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3

求微分。

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解题步骤 7.2.2.2.1.3.1

根据加法法则， $1 - V$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ 。

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.2

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d V} [- V]$ 相加。

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $- V$ 对 $V$ 的导数是 $- \frac{d}{d V} [V]$ 。

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.2.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.6.2

将 $- 1$ 移到 $1 + V$ 的左侧。

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.6.3

将 $- 1 (1 + V)$ 重写为 $- (1 + V)$ 。

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.7

根据加法法则， $1 + V$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ 。

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.8

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d V} [V]$ 相加。

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

解题步骤 7.2.2.2.1.3.11

将 $1 - V$ 乘以 $1$ 。

$- (1 + V) + 1 - V$

解题步骤 7.2.2.2.1.4

化简。

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解题步骤 7.2.2.2.1.4.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

解题步骤 7.2.2.2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 7.2.2.2.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - V + 1 - V$

解题步骤 7.2.2.2.1.4.2.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- V + 0 - V$

解题步骤 7.2.2.2.1.4.2.3

将 $- V$ 和 $0$ 相加。

$- V - V$

解题步骤 7.2.2.2.1.4.2.4

从 $- V$ 中减去 $V$ 。

$- 2 V$

解题步骤 7.2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.3.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7

化简。

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解题步骤 7.2.2.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.9

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.2.10

使用 $(1 + V) (1 - V)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 7.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 7.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + | x |) (1 - | x |)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.1

运用分配律。

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.1.2

运用分配律。

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.1.3

运用分配律。

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

将 $- | x |$ 乘以 $1$ 。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.1.3

将 $| x |$ 乘以 $1$ 。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.1.5

通过指数相加将 $| x |$ 乘以 $| x |$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.5.1

移动 $| x |$ 。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.1.5.2

将 $| x |$ 乘以 $| x |$ 。

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.2

将 $- | x |$ 和 $| x |$ 相加。

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.2.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 7.3.3

在等式两边都加上 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

解题步骤 7.3.4

将 $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.4.1

将 $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.2.2

用 $\ln (| 1 - V^{2} |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.4.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 7.3.4.3.1.3

移动 $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

解题步骤 7.3.4.3.1.4

将 $- 1 \cdot \ln (| x |)$ 重写为 $- \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

解题步骤 7.3.5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

解题步骤 7.3.6

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

解题步骤 7.3.7

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

解题步骤 7.3.8

运用分配律。

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

解题步骤 7.3.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

解题步骤 7.3.10

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

解题步骤 7.3.11

使用对数的定义将 $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

解题步骤 7.3.12

求解 $V$ 。

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解题步骤 7.3.12.1

将方程重写为 $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ 。

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

解题步骤 7.3.12.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

解题步骤 7.3.12.3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

解题步骤 7.3.12.4

将 $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ 中的每一项除以 $- x$ 并化简。

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解题步骤 7.3.12.4.1

将 $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 7.3.12.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.12.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 7.3.12.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.12.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 7.3.12.4.2.2.2

用 $V^{2}$ 除以 $1$ 。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 7.3.12.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.12.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.12.4.3.1.1

化简 $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ 。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

解题步骤 7.3.12.4.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

解题步骤 7.3.12.4.3.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.12.4.3.1.3.1

约去公因数。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

解题步骤 7.3.12.4.3.1.3.2

重写表达式。

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

解题步骤 7.3.12.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

解题步骤 7.3.12.6

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ 。

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解题步骤 7.3.12.6.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.2

在公分母上合并分子。

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.3

将 $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.4

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.5

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.12.6.5.1

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 7.3.12.6.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.12.6.5.6.4.1

约去公因数。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6.4.2

重写表达式。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

解题步骤 7.3.12.6.5.6.5

化简。

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 7.3.12.6.6

使用根数乘积法则进行合并。

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

解题步骤 7.3.12.6.7

将 $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

解题步骤 7.4

化简积分常数。

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

解题步骤 8

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

解题步骤 9

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ 。

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解题步骤 9.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

解题步骤 9.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

解题步骤 9.2.1.2

重写表达式。

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

微积分学 示例

微积分学示例