微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $12 x^{2} - 24 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 x + 4 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

解题步骤 5.2.1.6

从 $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1) = 0$

解题步骤 5.2.1.7

从 $4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1$

解题步骤 5.2.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 3 \cdot 1 + 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 3 + 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.5

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 2 + 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.6

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + 1$

解题步骤 5.2.2.1.3.7

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 5.2.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + x + 1}{x - 1}$

解题步骤 5.2.2.1.5

用 $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 1$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 5.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 5.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x - 1$

解题步骤 5.2.2.1.6

将 $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ 书写为因数的集合。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} - 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 4$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

一的任意次幂都为一。

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 4$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 - 24 \cdot 1 + 4$

解题步骤 9.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$12 - 24 + 4$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$- 12 + 4$

解题步骤 9.2.2

将 $- 12$ 和 $4$ 相加。

$- 8$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 4 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 4 + 2 \cdot 1 + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 (1) - 3$

解题步骤 11.2.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 - 3$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f (1) = - 3 + 2 + 4 - 3$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = - 1 + 4 - 3$

解题步骤 11.2.2.3

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f (1) = 3 - 3$

解题步骤 11.2.2.4

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = 1 + \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1 + \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

将 ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ 。

$12 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

运用分配律。

$12 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.2.2

运用分配律。

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.2.3

运用分配律。

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.3

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.3.3

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$12 (3 + 2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.4

运用分配律。

$12 \cdot 3 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.5

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$36 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.6

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 13.1.7

运用分配律。

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{2} + 4$

解题步骤 13.1.8

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 - 24 \sqrt{2} + 4$

解题步骤 13.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$12 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} + 4$

解题步骤 13.2.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$16 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

解题步骤 13.2.3

从 $24 \sqrt{2}$ 中减去 $24 \sqrt{2}$ 。

$16 + 0$

解题步骤 13.2.4

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$16$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1 + \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1 + \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 1 + \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $1 + \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = {(1 + \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用二项式定理。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.4

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.6.5

计算指数。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.7

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.9

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{3}} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{8} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.11

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.11.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{4 (2)} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.11.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.12

从根式下提出各项。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (2 \sqrt{2}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.13

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.2

约去公因数。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.3

重写表达式。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.2.15

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 13 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.4

将 $13$ 和 $4$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.5

将 $4 \sqrt{2}$ 和 $8 \sqrt{2}$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.6

使用二项式定理。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.7.1

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.2

一的任意次幂都为一。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.5.4.1

约去公因数。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5.4.2

重写表达式。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.5.5

计算指数。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.7

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{8}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.9

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.2.1.7.9.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.7.10

从根式下提出各项。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.8

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.9

将 $3 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.10

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.11

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.12

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.13

将 ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 15.2.1.14.1

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.14.2

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.14.3

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.15.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.3

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.15.3

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + 2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.16

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 15.2.1.19

运用分配律。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 15.2.1.20

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 15.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $17$ 中减去 $28$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 11 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 15.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.2.1

将 $- 11$ 和 $6$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 5 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 15.2.2.2.2

将 $- 5$ 和 $4$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 1 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 15.2.2.2.3

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.2.3

从 $12 \sqrt{2}$ 中减去 $20 \sqrt{2}$ 。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $- 8 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 15.2.2.5

将 $- 4 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 0$

解题步骤 15.2.2.6

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 16

计算在 $x = 1 - \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

将 ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ 。

$12 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 17.1.2.1

运用分配律。

$12 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.2.2

运用分配律。

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.2.3

运用分配律。

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.2

将 $- \sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 17.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 17.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.1.5.5

计算指数。

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.3.3

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$12 (3 - 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.4

运用分配律。

$12 \cdot 3 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.5

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$36 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.6

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.7

运用分配律。

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.8

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

解题步骤 17.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 24$ 。

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 + 24 \sqrt{2} + 4$

解题步骤 17.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 17.2.1

从 $36$ 中减去 $24$ 。

$12 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} + 4$

解题步骤 17.2.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$16 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

解题步骤 17.2.3

将 $- 24 \sqrt{2}$ 和 $24 \sqrt{2}$ 相加。

$16 + 0$

解题步骤 17.2.4

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$16$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1 - \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1 - \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = 1 - \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $1 - \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = {(1 - \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用二项式定理。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 (- \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.5

一的任意次幂都为一。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(- \sqrt{2})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.7

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.10.4.1

约去公因数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10.4.2

重写表达式。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.10.5

计算指数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.11

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.13

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.15

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{3}}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.16

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{8}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.17

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.17.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{4 (2)}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.17.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.18

从根式下提出各项。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- (2 \sqrt{2})) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.19

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- 2 \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.20

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.21

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.23

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.2

约去公因数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.3

重写表达式。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.2.25

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = 13 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.4

将 $13$ 和 $4$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.5

从 $- 4 \sqrt{2}$ 中减去 $8 \sqrt{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.6

使用二项式定理。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.7.1

一的任意次幂都为一。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.2

一的任意次幂都为一。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.6

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.7.9.4.1

约去公因数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9.4.2

重写表达式。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.9.5

计算指数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.11

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.13

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{8}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.15

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 19.2.1.7.15.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.15.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.16

从根式下提出各项。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - (2 \sqrt{2})) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.7.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.8

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.9

从 $- 3 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.10

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.11

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.12

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.13

将 ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 19.2.1.14.1

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.14.2

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.14.3

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.15.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.2

将 $- \sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.1.5.4.1

约去公因数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.4.2

重写表达式。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.1.5.5

计算指数。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.15.3

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.16

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.18

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.19

运用分配律。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.20

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

解题步骤 19.2.1.21

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 19.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

从 $17$ 中减去 $28$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 11 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 19.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.2.2.1

将 $- 11$ 和 $6$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 5 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 19.2.2.2.2

将 $- 5$ 和 $4$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 1 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 3$

解题步骤 19.2.2.2.3

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 19.2.2.3

将 $- 12 \sqrt{2}$ 和 $20 \sqrt{2}$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 19.2.2.4

从 $8 \sqrt{2}$ 中减去 $4 \sqrt{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 19.2.2.5

从 $4 \sqrt{2}$ 中减去 $4 \sqrt{2}$ 。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 0$

解题步骤 19.2.2.6

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ 的局部极值。

$(1, 0)$ 是一个局部最大值

$(1 + \sqrt{2}, - 4)$ 是一个局部最小值

$(1 - \sqrt{2}, - 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例