微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.1.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

解题步骤 1.3.1.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

解题步骤 1.3.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

解题步骤 1.3.1.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.3.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $\cos (4 - 2 x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - 2 x$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $4 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $4 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.7

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.3.8

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.5

将 $2 \sin (4 - 2 x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 3$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 3$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3.6.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3.6.3

使用 $2 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

解题步骤 3.11

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

解题步骤 3.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{1}{2 x - 3}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2 x - 3}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ 和 $\sin (4 - 2 x)$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

解题步骤 6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

解题步骤 6.2

用 $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 10

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

解题步骤 11

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

解题步骤 13

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

解题步骤 14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

解题步骤 15

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

解题步骤 15.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

解题步骤 16.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

解题步骤 16.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

解题步骤 16.3

将 $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

解题步骤 16.4

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 16.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

解题步骤 16.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (4 - 4)$

解题步骤 16.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\sin (0)$

解题步骤 16.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0$

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