微积分学示例

$x y' - 2 y = 2$

解题步骤 1

重写微分方程。

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

解题步骤 2.1.2

将 $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

解题步骤 2.2

因数。

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解题步骤 2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

解题步骤 2.2.2

从 $2 + 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

解题步骤 2.2.2.2

从 $2 \cdot 1 + 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1 + y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

解题步骤 2.3

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + y}$ 。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

解题步骤 2.4

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $2 (1 + y)$ 中分解出因数 $1 + y$ 。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

解题步骤 2.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

解题步骤 2.5

重写该方程。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

使 $u = 1 + y$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.2.1.1

设 $u = 1 + y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $1 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 3.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 3.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3.2.3

使用 $1 + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

解题步骤 4.2.1.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

解题步骤 4.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

解题步骤 4.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

解题步骤 4.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

解题步骤 4.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.5.1

将方程重写为 $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ 。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

解题步骤 4.5.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

解题步骤 4.5.3

化简。

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解题步骤 4.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.5.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

解题步骤 4.5.3.1.1.2

重写表达式。

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

解题步骤 4.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.3.2.1

将 $e^{C} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

解题步骤 4.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

解题步骤 4.5.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

解题步骤 5

将常数项组合在一起。

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解题步骤 5.1

化简积分常数。

$y = \pm x^{2} C - 1$

解题步骤 5.2

用加号或减号合并常数。

$y = C x^{2} - 1$

微积分学 示例

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