微积分学示例

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

合并分数。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8.3

组合 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

解题步骤 3.3.8.4

将 $3$ 移到 $x - 1 - (x + 1)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

对 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$\frac{3 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

运用分配律。

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

合并项。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 3 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - 3 - 3 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.5

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{0 - 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.9

将 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.10

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{2}$ 乘以 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.10.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2 + 2}}$

解题步骤 3.4.4.10.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.11

将 $6$ 移到 ${(x + 1)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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