微积分学示例

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ 。

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 \ln (x)$ 。

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.3

使用 $- 3 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

将负号移到分数的前面。

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.2

组合 $e^{- 3 \ln (x)}$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.3

将 $3$ 移到 $e^{- 3 \ln (x)}$ 的左侧。

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.4

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ 。

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5.2.3

约去公因数。

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5.2.4

重写表达式。

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.5.2.5

用 $x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ 除以 $1$ 。

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.2.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

解题步骤 6

将 $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 和 $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ 相加。

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解题步骤 6.1

移动 $e^{- 3 \ln (x)}$ 。

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

解题步骤 6.2

将 $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 和 $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ 相加。

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

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