微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

解题步骤 1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

解题步骤 1.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

解题步骤 1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

解题步骤 3

合并项。

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解题步骤 3.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

解题步骤 3.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

解题步骤 4

化简极限自变量。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $3 - (x + 3)$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

解题步骤 5.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.2.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

解题步骤 5.1.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

解题步骤 5.1.2.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

解题步骤 5.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.5.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

解题步骤 5.1.3.5.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $3 - (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

解题步骤 5.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 5.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 5.3.8

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 5.3.9

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

解题步骤 5.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

解题步骤 5.3.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

解题步骤 5.3.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

解题步骤 5.3.13

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

解题步骤 5.3.14

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

解题步骤 6.2

计算 $- 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

解题步骤 6.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

解题步骤 6.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分母。

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解题步骤 8.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

解题步骤 8.1.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

解题步骤 8.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

解题步骤 8.3

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 8.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{9}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{9}$

小数形式：

$- 0.\overline{1}$

微积分学 示例

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