微积分学示例

$\int_{0}^{6} (x^{2} + x + 1) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{6} x^{2} + x + 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ 和 $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ 和 $x]_{0}^{6}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{6}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $216$ 。

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.3

约去 $216$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1

从 $216$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.3.2.4

用 $72$ 除以 $1$ 。

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $36$ 。

$72 + \frac{36}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.6

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.6.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.6.2.2

约去公因数。

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.6.2.3

重写表达式。

$72 + \frac{18}{1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.6.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$72 + 18 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.7

将 $72$ 和 $18$ 相加。

$90 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.8

将 $90$ 和 $6$ 相加。

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

解题步骤 6.2.2.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

解题步骤 6.2.2.12

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$96 - (0 + 0 + 0)$

解题步骤 6.2.2.13

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$96 - (0 + 0)$

解题步骤 6.2.2.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$96 - 0$

解题步骤 6.2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$96 + 0$

解题步骤 6.2.2.16

将 $96$ 和 $0$ 相加。

$96$

解题步骤 7

微积分学 示例

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