微积分学示例

$\int (\sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (2 x + 5) d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x + 5$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 8

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

解题步骤 10

使用 $2 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (2 x + 5) + C$

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