微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x) - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $e^{x} - \cos (x) - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.6

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 2 + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

解题步骤 2.3

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

解题步骤 2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

解题步骤 2.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

解题步骤 2.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.8

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 - 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1 - 2 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4

将 $1 - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 - 2}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1}{0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1}{0 - 2}$

解题步骤 4.2.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 4.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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