微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2

将 $- 1 u^{3}$ 重写为 $- u^{3}$ 。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{u^{4}}{4}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

解题步骤 6.2

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

解题步骤 7.2.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

解题步骤 7.2.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

解题步骤 7.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

解题步骤 7.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

解题步骤 7.6

化简分子。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

解题步骤 7.6.2

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

解题步骤 7.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

解题步骤 7.8

将分子乘以分母的倒数。

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 7.9

乘以 $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{15}{16}$ 。

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

解题步骤 7.9.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$- - \frac{15}{64}$

解题步骤 7.10

乘以 $- - \frac{15}{64}$ 。

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解题步骤 7.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{15}{64})$

解题步骤 7.10.2

将 $\frac{15}{64}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15}{64}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{15}{64}$

小数形式：

$0.234375$

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