微积分学示例

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{1 x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2}$

解题步骤 1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 2 x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2^{-}} x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2^{-}} x}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 - 2 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.2.5.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - x - 2}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

解题步骤 2.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

解题步骤 2.1.3.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2^{2} - lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{4 - 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{4 - 2 - 2}$

解题步骤 2.1.3.5.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{2 - 2}$

解题步骤 2.1.3.5.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

解题步骤 2.3.5

根据加法法则， $x^{2} - x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 2.3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

解题步骤 2.3.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1 + 0}$

解题步骤 2.3.9

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x - 2}{2 x - 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

解题步骤 3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

解题步骤 3.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - 1}$

解题步骤 3.5

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2^{-}} 2 x - lim_{x \to 2^{-}} 1}$

解题步骤 3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 1}$

解题步骤 3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{4 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{4 - 1}$

解题步骤 5.2.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

微积分学 示例

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