微积分学示例

$(12 x^{2} - 4 x) d x$

解题步骤 1

将 $(12 x^{2} - 4 x) d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (12 x^{2} - 4 x) d x d x$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int (12 x^{2} - 4 x) x d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$d \int 12 x^{2} x - 4 x \cdot x d x$

解题步骤 5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 12 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot x d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int 12 x^{2 + 1} - 4 x \cdot x d x$

解题步骤 5.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$d \int 12 x^{3} - 4 x \cdot x d x$

解题步骤 5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x) d x$

解题步骤 5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) d x$

解题步骤 5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{1 + 1} d x$

解题步骤 5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{2} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\int 12 x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$d (12 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{2} d x)$

解题步骤 9

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{2} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

解题步骤 11

化简。

$d (3 x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$

微积分学 示例

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