微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $e^{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 3.1.4.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{2}}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 3.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

解题步骤 3.6

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

解题步骤 5.2

计算 $\frac{u_{2}}{2}$ 在 $e^{t^{2}}$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 6

因为函数 $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 6.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2

计算极限值。

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解题步骤 6.2.1

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 6.2.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

解题步骤 6.2.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

解题步骤 6.3

因为指数 $t^{2}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{t^{2}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

解题步骤 6.4.2

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 6.4.3

化简答案。

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解题步骤 6.4.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty - 1}{2}$

解题步骤 6.4.3.1.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{2}$

解题步骤 6.4.3.2

无穷大除以任何有穷数和非零数，其结果为无穷大。

$\infty$

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