微积分学示例

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(x - 3)}^{2}$ 。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(x - 3)}^{2}$ 。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ 中分解出因数 $x {(x - 3)}^{2}$ 。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

解题步骤 5.1.5

从 $3 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$

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